一维谐振子薛定谔方程的数值解

类别:    标签: 数理 js   阅读次数:   版权: (CC) BY-NC-SA

2015-07-05 16:28:58

对微分方程

\[\left({d^2 \over dx^2}+f(x)\right) y(x)=0\]

可采用努梅罗夫方法 求其数值解. 求解时, 先对 $x$ 进行均匀离散化. 若已知前面两点 \(x_{n-1}\), \(x_n\) 的解 \(y_{n-1}\), $y_n$, 则后一点的解可写为

\[y_{n+1}={[24-10f(x_n) h^2]y_n - [12+f(x_{n-1}) h^2] y_{n-1} \over 12+f(x_{n+1}) h^2 }\]

其中 $h=x_n-x_{n-1}$ 为离散间距.

一维薛定谔方程可写为如下形式:

\[\alg -{\hbar^2 \over 2\m}{d^2 \over dx^2}\Y+V\Y=E\Y \\ {d^2 \over dx^2}\Y+{2\m (E-V) \over \hbar^2}\Y=0 \\ \left( {d^2 \over dx^2}+{2\m (E-V) \over \hbar^2} \right)\Y=0 \ealg\]

与上面的微分方程对比可知

\[f(x)={2\m (E-V) \over \hbar^2}\]

因此可利用此方法求解任意势能函数下一维薛定谔方程的数值解. 下面是用于求解一维谐振子薛定谔方程的小程序, 可用于求解其能量本征值.

未完成

  1. 添加标尺, 密度函数
  2. 不同的势能函数
  3. 距离太大时发散

质量 能量 步长 Xmin Xmax

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